【题目】如图,直四棱柱的底面是菱形,,,,,,分别是,,的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)过作,证明,再证明,可得,再由线面平行的判定可得平面;
(2)以为坐标原点,以垂直于得直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.
(1)如图,过作,则,且,
又,,四边形为平行四边形,则,
由,为中点,得为中点,而为中点,
,,则四边形为平行四边形,则,
,
平面,平面,
平面;
(2)以为坐标原点,以垂直于得直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则,,,
,,
设平面的一个法向量为,
由,取,得,
又平面MAA1的一个法向量为,
.
二面角的正弦值为.
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【题目】如图,已知焦点在x轴上的椭圆有一个内含圆x2+y2=,该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M,N,且 (O为原点).
(1)求b的值;
(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证:,并求|AB|的取值范围.
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【题目】下列说法正确的个数是( )
①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的线性回归方程为 ,则若该大学某女生身高增加,则其体重约增加;
②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③过定圆上一定点作圆的动弦,为原点,若,则动点的轨迹为椭圆;
④已知是椭圆的左焦点,设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,则直线(为原点)的斜率的取值范围是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在平面直角坐标系内,已知点,圆的方程为,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点.
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)过点能否作一条直线,与点的轨迹交于两点,且点为线段的中点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系(),点为曲线上的动点,点在线段的延长线上,且满足,点的轨迹为。
(Ⅰ)求的极坐标方程;
(Ⅱ)设点的极坐标为,求面积的最小值。
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【题目】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用,需了解年宣传费(单位:万元)对年销量(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计,得到如下数据:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费(万元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量(吨) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑模拟,发现年宣传费(万元)与年销售量(吨)之间近似满足关系式,两边取对数,即,令,即对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研,求所选数据中至多有一年年销售量低于21吨的概率.
(2)根据所给数据,求关于的回归方程;
(3)若生产该产品的固定成本为200(万元),且每生产1(吨)产品的生产成本为20(万元)(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费),销售收入为(万元),假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),2019年该公司计划投入108万元宣传费,你认为该决策合理吗?请说明理由.(其中为自然对数的底数,)
附:对于一组数据,其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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