Question

已知函数f(x)=a|x|+

2

ax

(x∈R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若m＞2

2

，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

分析：（1）表达式形式上提醒我们可以尝试基本不等式求解，则需要对自变量x的绝对值符号进行讨论分析．不过要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用条件．
（2）本题需要通过f（x）求出g（x）表达式，观察表达式可知，解决本题的关键是对函数解析式中绝对值符合的处理，要去掉绝对值符号可以根据定义分类讨论．
（3）需要对变量m分以下两种情况讨论：2

2

＜m≤3，m＞3

解答：解：（1）①x≥0时，∵ax≥1，f(x)=a|x|+

2

ax

=ax+

2

ax

≥2

2

，
当且仅当ax=

2

ax

，即ax=

2

＞1时等号成立；
②x＜0，∵a＞1，∴0＜ax＜1，∴f(x)=

3

ax

＞3，
由①②知函数f（x）的值域为[2

2

，+∞)．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0时，∵a＞1，

1

a2

≤ax＜1，g(x)=a-x+2ax，
令t=a^x，则g(x)=2t+

1

t

，记h(t)=2t+

1

t

．(

1

a2

≤t＜1)，h(t)=2t+

1

t

≥2

2

，当且仅当2t=

1

t

，t=

2

2

时等号成立，
（i）

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

时，结合①知g(x)min=2

2

与a无关；
（ii）

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

时，h′(t)=2-

1

t2

≥2-a4＞0，∴h（t）在[

1

a2

，1)上是增函数，g(x)min=h(t)min=h(

1

a2

)=a2+

2

a2

＜3，
结合①知g(x)min=a2+

2

a2

与a有关；
综上，若g（x）的最小值与a无关，则实数a的取值范围是a≥

4	2

．
（3）①2

2

＜m≤3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=loga

m± m2-8

2

}；
②m＞3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=loga

m+ m2-8

2

或x=loga

3

m

}．

点评：（1）去绝对值符号的两种常用方法：
①绝对值定义法：|x|=

x  x≥0 -x x＜0

②要去绝对值式子两端同时平方．
（2）使用均值不等式的条件：
①一正（a，b都是正数）；
②二定（若求a+b则ab是定值，若求ab则a+b是定值）；
③三等．（当且仅当a=b时不等式取“=”）．