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当曲线y=1+
4-x2
与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是(  )
分析:将曲线方程化简,可得曲线表示以C(0,1)为圆心、半径r=2的圆的上半圆.再将直线方程化为点斜式,可得直线经过定点A(2,4)且斜率为k.作出示意图,设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(-2,1),当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时,直线与半圆有两个相异的交点.由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算,可得实数k的取值范围.
解答:解:化简曲线y=1+
4-x2
,得x2+(y-1)2=4(y≥1)
∴曲线表示以C(0,1)为圆心,半径r=2的圆的上半圆.
∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k(x-2),
∴直线经过定点A(2,4)且斜率为k.
又∵半圆y=1+
4-x2
与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点,
∴设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(-2,1),
当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时,
直线与半圆有两个相异的交点.
由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足
|-1-2k+4|
k2+1
=2

解之得k=
5
12
,即kAD=
5
12

又∵直线AB的斜率kAB=
4-1
2+2
=
3
4
,∴直线的斜率k的范围为k∈(
5
12
3
4
]

故选:C
点评:本题给出直线与半圆有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围.着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
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π
4
,f(
π
4
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1
3
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3
2
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科目:高中数学 来源:0117 同步题 题型:单选题

当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,实数k的取值范围是

[     ]

A.
B.
C.
D.

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