Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴长为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=2与椭圆C交于两点P、Q，其中P在第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的两个动点，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过题意直接计算即可；
（2）通过在椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中令x=2可得P（2，1）、Q（2，-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用∠APQ=∠BPQ，分别联立直线PA、PB与椭圆方程，结合韦达定理，直接计算$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可．

解答 解：（1）依题意：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=4$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）结论：直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．
理由如下：
在椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中令x=2，得y=±1，
∴P（2，1），Q（2，-1），
∵∠APQ=∠BPQ，∴直线PA的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，
直线PA的斜率显然存在．
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线PA的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+16k²-16k-4=0，
∵2、x₁是该方程的两个实根，
∴2x₁=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，∴x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
同理，直线PB的方程为：y=-kx+2k+1，且x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，
∴直线AB的斜率为：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}-2k+1）-（-k{x}_{2}+2k+1）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$
=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{16{k}^{3}-4k}{1+4{k}^{2}}-4k}{-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}}$
=$\frac{-8k}{-16k}$
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．