Question

已知数列{a_n}满足对一切n∈N^*有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（I）求证：对一切n∈N^*有a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=2ⁿ•a_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（I）把两式a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，相减即可得到

S

2 n+1

-

S

2 n

=

a

3 n+1

，即an+1(Sn+1+Sn)=

a

3 n+1

，又a_n+1＞0，可得2Sn+an+1=

a

2 n+1

；
（II）当n≥2时，由a_n+1²-a_n+1=2S_n及

a

2 n

-an=2Sn-1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，进而得到a_n+1-a_n=1，（*）
当n=1，2时也满足（*）．数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（III）由b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，可得T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（I）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，
∴

S

2 n+1

-

S

2 n

=

a

3 n+1

，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n）=

a

3 n+1

，
即an+1(Sn+1+Sn)=

a

3 n+1

，又a_n+1＞0，
∴Sn+1+Sn=

a

2 n+1

，∴2Sn+an+1=

a

2 n+1

，
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）当n≥2时，
由a_n+1²-a_n+1=2S_n及

a

2 n

-an=2Sn-1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，（*）
当n=1时，

a

3 1

=

S

2 1

=

a

2 1

，a₁＞0，可得a₁=1，
当n=2时，

a

3 1

+

a

3 2

=

S

2 2

，得到1+

a

3 2

=(1+a2)2，及a₂＞0，解得a₂=2．
a₂-a₁=1也满足（*）．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（III）∵b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2×(2n-1)

2-1

-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：熟练掌握等差数列及等比数列的通项公式、前n项和公式、“错位相减法”及其a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解题的关键．