Question

点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上运动，则△F₁F₂P的重心G的轨迹方程是

9x2

16

+y2=1（x≠0）

．

Answer 1

分析：求出椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的焦点为F₁（-

7

，0），F₂（

7

，0）．设G（x，y），P（m，n），根据三角形重心坐标公式建立关系式，解出m=3x且n=3y，利用点P（m，n）在椭圆上代入题中椭圆方程，化简即可得到所求△F₁F₂P的重心G的轨迹方程．

解答：解：设G（x，y），P（m，n），则
∵椭圆

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4，b=3，
∴c=

16-9

=

7

，
得椭圆的焦点为F₁（-

7

，0），F₂（

7

，0），
∵G为△PF₁F₂的重心，
∴x=

1

3

（-

7

+

7

+m）=

1

3

m，y=

1

3

（0+0+n）=

1

3

n
解之得m=3x，n=3y
∵点P在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上运动，得

m2

16

+

n2

9

=1
∴将m=3x、n=3y代入，得

9x2

16

+

9y2

9

=1，即

9x2

16

+y2=1
∵P、F₁、F₂三点不共线，可得x≠0
∴△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是

9x2

16

+y2=1，（x≠0）
故答案为：

9x2

16

+y2=1（x≠0）

点评：本题给出椭圆的焦点三角形，求三角形的重心G的轨迹方程．着重考查了椭圆的标准方程、三角形的重心坐标和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．