【题目】为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在内,现将成绩按区间,,,,进行分组,绘制成如下的频率分布直方图.
青年组
中老年组
(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数;
(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率.
【答案】(1)中位数为80,平均数为(2)
【解析】
(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数;
(2) 求邮青年组,的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自分数段的概率.
解:(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为,后2个小矩形的面积和为,所以中位数为80.
中老年组成绩的平均数为.
(2)青年组,的分数段中答卷分别为12份,8份,
抽取比例为,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份.
记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,
则从中选出3位市民,共有不同选法种数10种:
,,,,
,,,,,.
其中,有2位来自的有3种:,,.
所以所求概率.
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【题目】同学们刚刚结束了史上最长寒假,经高二各班数学老师了解,同学们每天沉迷于学习中不能自拔,每天认真完成作业,作业正确率很高,为同学们点赞!某个周日一位同学正在三河滩锻炼身体,突然接到级部通知回家开网络学生会,从三河滩某处A到对岸公路BC的距离AB为2km, B处与家C间的距离为4km,从A到C,必须先步行到BC上的某一点D,步行速度为5km/h,再乘电动车到C,电动车车速为10km/h,记
(1)试将由A到C所用的时间t表示为的函数;
(2)间为多少时,由A到C所用的时间t最少?
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【题目】2019年12月以来,湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测,发现多起病毒性肺炎病例,均诊断为病毒性肺炎/肺部感染,后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下,后期的累计确诊人数,建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型,根据1月15日至1月24日的数据(时间变量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.
(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2根据(1)的判断结果及附表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据,根据(2)的结果回答下列问题:
时间 | 1月25日 | 1月26日 | 1月27日 | 1月28日 | 1月29日 |
累计确诊人数的真实数据 | 1975 | 2744 | 4515 | 5974 | 7111 |
(ⅰ)当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1则认为模型可靠,请判断(2)的回归方程是否可靠?
(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的强力领导下,全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真实数据明显低于预测数据,则认为防护措施有效,请判断预防措施是否有效?
附:对于一组数据(,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
参考数据:其中,.
5.5 | 390 | 19 | 385 | 7640 | 31525 | 154700 | 100 | 150 | 225 | 338 | 507 |
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【题目】某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份和关注人数(单位:百)()数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
17.5 | 35 | 36.5 |
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并建立y关于x的回归方程;
(2)经统计,调查材料费用v(单位:百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数;
(3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,求关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望.
参考公式:相关系数,若,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】如下图,在四棱锥中,平面平面,,,,,点在棱上,且.
(1)证明:;
(2)是否存在实数,使得二面角的余弦值为?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马,如图所示,在阳马中,底面.
(1)已知,斜梁与底面所成角为,求立柱的长;(精确到)
(2)求证:四面体为鳖臑.
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【题目】已知数列的前项和为,且,.
(1)若数列是等差数列,且,求实数的值;
(2)若数列满足(),且,求证:是等差数列;
(3)设数列是等比数列,试探究当正实数满足什么条件时,数列具有如下性质:对于任意的(),都存在,使得,写出你的探究过程,并求出满足条件的正实数的集合.
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