Question

已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为，，证明：.

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）由椭圆的左右顶点分别为可得，，又由双曲线是为顶点，故可设双曲线的方程为，再由条件中双曲线离心率为，可建立关于的方程，从而得到双曲线的方程为；（2）根据题意可设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立求，，消去后可得：，解得或，因此，同理，将直线方程与双曲线方程联立，消去后可得
，从而得证．  .
试题解析：（1）依题意可得，，∴设双曲线的方程为，
又∵双曲线的离心率为，∴，即，∴双曲线的方程为；
（2）设点，（，，），设直线的方程为，
联立方程组，整理得：或，
∴， 同理可得，联立方程组，∴．    .