分析 (1)由题意可得an+1<an,即有0<an≤1,可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2,运用数学归纳法证明;
(2)运用数学归纳法证明,注意$\frac{2}{k+3}$≤ak+1≤$\frac{2}{k+2}$,(k≥1),化简整理,即可得证.
解答 证明:(1)an+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{{a}_{n}}^{2}}$,可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+1}$∈(0,1),
即有an+1<an,即有0<an≤1,
可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2,即有an+1≤$\frac{1}{2}$<1;
又n=1时,$\frac{2}{3}$≤a1≤1,成立;
假设n=k时,1≥ak≥$\frac{2}{2+k}$,
当n=k+1时,$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=ak+$\frac{1}{{a}_{k}}$≤$\frac{2}{2+k}$+$\frac{2+k}{2}$,
由$\frac{2}{2+k}$+$\frac{2+k}{2}$-$\frac{k+3}{2}$=$\frac{2}{2+k}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-k}{2(2+k)}$≤0,
即有$\frac{1}{{a}_{k+1}}$≤$\frac{k+3}{2}$,即为$\frac{2}{k+3}$≤ak+1≤1;
综上可得,当n≥1,n∈N*时,$\frac{2}{n+2}$≤an≤1;
(2)当n=1时,S1=a1=1,$\sqrt{2-1}$=1,即有不等式成立;
n=k时,Sk≤$\sqrt{2k-1}$,
当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1≤$\sqrt{2k-1}$+ak+1,
由$\frac{2}{k+3}$≤ak+1≤$\frac{2}{k+2}$,(k≥1),
可得$\sqrt{2k-1}$+ak+1≤$\sqrt{2k-1}$+$\frac{2}{k+2}$,
$\sqrt{2k+1}$-$\sqrt{2k-1}$=$\frac{2}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}$>$\frac{2}{2+k}$
?$\sqrt{2k-1}$+$\sqrt{2k+1}$<2+k?4$\sqrt{2k-1}$+4$\sqrt{2k+1}$<(1+2k)+(2k-1)+8
?($\sqrt{2k-1}$-2)2+($\sqrt{2k+1}$-2)2>0,
即有$\sqrt{2k-1}$+$\frac{2}{k+2}$<$\sqrt{2k+1}$,
故当n=k+1时,不等式成立,
综上可得,Sn≤$\sqrt{2n-1}$(n∈N*).
点评 本题考查不等式的证明,注意运用数学归纳法和放缩法,考查推理能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{10}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | f(x)=x,g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$ | B. | f(x)=x,g(x)=$\root{3}{{x}^{3}}$ | ||
C. | f(x)=cosx,g(x)=sin($\frac{3π}{2}$+x) | D. | f(x)=lnx2,g(x)=2lnx |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com