Question

命题A：两曲线F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于点P（x₀，y₀），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x₀，y₀），则命题A是命题B的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先看能否由命题A成立推出命题B成立，再看当命题B成立时，能否推出命题A成立．

解答：解：∵命题A：两曲线F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于点P（x₀，y₀），
∴F（x₀，y₀）=0，且G（x₀，y₀）=0，
∴F（x₀，y₀）+λG（x₀，y₀）=0，
∴命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x₀，y₀）成立，故充分性成立．
当命题B成立时，曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x₀，y₀），
∴F（x₀，y₀）+λG（x₀，y₀）=0，
但不能推出F（x₀，y₀）=0，且 G（x₀，y₀）=0，只能得出F（x₀，y₀）=-λG（x₀，y₀），
故必要性不成立，
故选A．

点评：本题考查曲线与方程的概念，充分条件、必要条件的判定，注意推理的严密性，属于中档题．