Question

如图，已知点A是椭圆

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右顶点，点C（t，t）（t＞0）在椭圆上，且满足

OC

•

OA

=

3

2

（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当

OM

+

ON

=

2

OC

，求△OMN的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由于点A是椭圆

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右顶点，可得A(

3

b，0)．点C（t，t）（t＞0）在椭圆上，可得

t2

3b2

+

t2

b2

=1．由于

OC

•

OA

=

3

2

，可得

3

bt=

3

2

，联立解出即可．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由于

OM

+

ON

=

2

OC

，可得x₁+x₂=

6

2

=y₁+y₂．设直线l的方程为y=kx+t．与椭圆的方程联立可得（1+3k²）t²+6ktx+3t²-3=0，利用根与系数的关系可解得k，t．|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线l距离d．利用S_△OMN=

1

2

•d•|MN|即可得出．

解答： 解：（I）∵点A是椭圆

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右顶点，∴A(

3

b，0)．
点C（t，t）（t＞0）在椭圆上，∴

t2

3b2

+

t2

b2

=1．
∵

OC

•

OA

=

3

2

，∴

3

bt=

3

2

，
解得b²=1，t=

3

2

．
∴椭圆的方程为：

x2

3

+y2=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵

OM

+

ON

=

2

OC

，
∴x₁+x₂=

6

2

=y₁+y₂．
设直线l的方程为y=kx+t．
联立

y=kx+t x2+3y2=3

，
化为（1+3k²）t²+6ktx+3t²-3=0，
∴x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=

-6k2t

1+3k2

+2t=

2t

1+3k2

．
∴-

6kt

1+3k2

=

2t

1+3k2

=

6

2

．
解得k=-

1

3

，t=

6

3

．
∴x₁+x₂=

6

2

，x₁x₂=-

3

4

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5

．
原点O到直线l：y=-

1

3

x+

6

3

的距离d=

6 3

1+ 1 9

=

6

10

．
∴S_△OMN=

1

2

•d•|MN|=

1

2

×

6

10

×

5

=

3

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式公式、三角形的面积计算公式、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．