Question

【题目】在四棱锥中，平面，，，且，，.

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）.

【解析】分析：（1）由条件可得在直角梯形ABCD中可得，然后根据线面垂直的性质可得，最后由线面垂直的判定定理得到，于是可得．（2）解决立体几何中的探索性问题，可利用向量的坐标运算求解．根据题意建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点M，由可求得点M的坐标．在此基础上可得平面的法向量和平面的法向量，然后根据求得后再求线面角的正弦值．

详解：（1）由已知得四边形是直角梯形，

又，，

所以是等腰直角三角形，故．

因为，

所以，

又，

所以，

因为，

所以．

（2）建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

故，

设，可得的坐标为．

设是平面的一个法向量，

由，得，

令，可得，

又是平面的一个法向量，

由题意得 ，

解得．

所以平面的一个法向量可取，，

设与平面所成的角为，

则，

故当点M是线段的中点时，可使得二面角的大小为，此时与平面所成角的正弦值为．