Question

已知圆O：x²+y²=4．
（1）直线l₁：

3

x+y-2

3

=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；
（2）如图，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线=PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求出圆心（0，0）到直线

3

x+y-2

3

=0的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值．
（2）先求出M₁和点M₂的坐标，用两点式求直线PM₁ 和PM₂的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．

解答： 解：（1）由于圆心（0，0）到直线

3

x+y-2

3

=0的距离d=

3

．
圆的半径r=2，∴|AB|=2

4-3

=2．…（4分）
（2）由于M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，则可得M₁（-x₁，-y₁）、M₂（x₁，-y₁），且x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4．…（8分）
根据PM₁的方程为

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0求得y=m=

x1y2-x2y1

x2+x1

．
根据PM₂的方程为

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0求得y=n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．…（12分）
∴mn=

x1y2-x2y1

x2+x1

•

-x1y2-x2y1

x2-x1

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x22-x12

=4为定值．…（14分）

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．