Question

【题目】设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）x∈R，使f（x）≥t2﹣ t，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

当 ，∴x＜﹣5

当 ，∴1＜x＜2

当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2

综上所述 {x|x＞1或x＜﹣5}

（2）解：由（1）得 ，若x∈R， 恒成立，

则只需 ，

综上所述

【解析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若x∈R， 恒成立，只须 即可，求出实数t的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．