Question

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A，B两不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），?，所求椭圆的方程为+=1
（2）∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，
∴直线l方程为：y=x+m
由?2x²+6mx+9m²-18=0
∵直线l交椭圆于A、B两点，
∴△=（6m）²-4×2（9m²-18）＞0?-2＜m＜2
m的取值范围为-2＜m＜2，且m≠0．
分析：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由得，由此能够得到所求椭圆的方程．
（2）由题意可设直线l方程为：y=x+m，由整理得2x²+6mx+9m²-18=0，然后由根的判别式能够推导出m的取值范围．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和基本应用，解题时要认真审题，仔细运算，避免不必要错误的发生．