Question

17．已知函数f（x-1）=x²-4x．
（Ⅰ）求函数f（x）及f（2x+1）的解析式；
（Ⅱ）（i）若f（x）在区间[2m，m+1]上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（ii）若对于任意的x₀∈[0，2]，总存在t∈{x|$\frac{2a}{x+5+a}$≥1}，使得f（2x₀+1）=t成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用换元法和代入法即可求函数f（x）及f（2x+1）的解析式；
（Ⅱ）（i）根据一元二次函数的单调性的性质，判断对称轴的范围即可．
（ii）先求出f（2x₀+1）=t成立的t的取值范围，结合t的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设t=x-1，则x=t+1，
则f（t）=（t+1）²-4（t+1）=t²-2t-3，
即f（x）=x²-2x-3．
则f（2x+1）=（2x+1）²-2（2x+1）-3=4x²-4．
（Ⅱ）（i）∵f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1，
∴若f（x）在区间[2m，m+1]上不具有单调性，
则2m＜1＜m+1，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{1}{2}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，即0＜m＜$\frac{1}{2}$，即实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
（ii）∵f（2x+1）=4x²-4．
∴f（2x₀+1）=t得4x₀²-4=t．
∵x₀∈[0，2]，
∴-4≤t≤12，
由$\frac{2a}{x+5+a}$≥1得a≠0，
且$\frac{2a}{x+5+a}$-1=$\frac{a-5-x}{x+5+a}$≥0，
即$\frac{x+5-a}{x+5+a}$≤0，
若a＞0，则不等式的解为-5-a＜x≤a-5，
若a＜0，则不等式的解为a-5≤x＜-5-a，
∵t∈{x|$\frac{2a}{x+5+a}$≥1}，
∴若a＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-5-a＜-4}\\{a-5≥12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞-1}\\{a≥17}\end{array}\right.$得a≥17，
若a＜0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a-5＜-4}\\{-5-a≥12}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＜1}\\{a≤-17}\end{array}\right.$得a≤-17，
即a≥17或a≤-17
即实数a的取值范围是a≥17或a≤-17．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，一元二次函数的性质，考查学生的运算和推理能力．