Question

（12分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数， 且，，．

（1）求的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）      （2）   （3）

解析:

（1）由题意，≥0在上恒成立，即．

 ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

  只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．

（2）由（1）得．．

∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立． 等价于，即， 而 ，（）_max=1，∴．等价于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．

（3）构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立． 当时，．因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．