Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，一般都要在屋顶和外墙建造隔热层．某建筑物要造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能耗费用W（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系，（0≤x≤15），若不建隔热层，每年能耗为10万元．设f（x）为隔热层的建造费用与30年总计的能耗费用之和．
（1）求m的值和f（x）；
（2）当x=4时，以隔热层使用寿命30年计算，平均每年比不建隔热层节约多少钱？

Answer 1

解：（1）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为，（0≤x≤15），
再由W（0）=10，得=10，
解得m=40．
∴W=，（0≤x≤15）．
而建造费用为W₁（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和为
f（x）=30W+W₁（x）=30×+6x=+6x（0≤x≤15）．
（2）当x=4，f（4）==99．
∴x=4时，以隔热层使用寿命30年计算，平均每年需（万元），
∴当x=4时，以隔热层使用寿命30年计算，平均每年比不建隔热层节约：
10-3.3=6.7（万元）．
分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用W（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，（0≤x≤15），若不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．我们可得W（0）=10，解得m=40．故W=，（0≤x≤15）．根据隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，当x=4，f（4）==99．故x=4时，以隔热层使用寿命30年计算，平均每年需（万元），由此能求出以隔热层使用寿命30年计算，平均每年比不建隔热层节约钱数．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．