Question

设O为正方形ABCD的中心，四边形ODEF是平行四边形，且平面ODEF⊥平面ABCD，若AD=2，DE=

2

．
（Ⅰ）求证：FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）线段EC上是否存在一点M，使AE∥平面BDM？若存在，求EM：MC的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证出平行四边形ODEF为菱形，得到FD⊥OE，再根据线面垂直的判定定理，进行证明；
（Ⅱ若M是线段EC的中点，O为AC中点，得出EA∥OM，从而AE∥平面BDM，进而得出比值．

解答： 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∵AD=2，∴BD=2

2

，OD=

2

，
∵DE=OD，∴平行四边形ODEF为菱形，∴FD⊥OE，
又∵平面ODEF⊥平面ABCD，∴AC⊥平面ODEF，∴AC⊥DF，
而AC∩OD=O，∴FD⊥平面ACE；
（Ⅱ）存在线段EC的中点M，使AE∥平面BDM，
若M是线段EC的中点，O为AC中点，∴EA∥OM，
∵OM?平面BDM，EA?平面BDM，∴AE∥平面BDM，
此时EM：MC的值为1．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，是一道中档题．