Question

（2012•上海模拟）如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若C1M=

3

2

，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=1，试证明：BM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

分析：（1）连接A₁M、B₁M，根据A₁B₁∥C₁D₁，得∠B₁A₁M或其补角即为异面直线A₁M和C₁D₁所成角．Rt△A₁B₁M中，求出B₁M的长，结合直角三角形中三角函数定义，算出tan∠B₁A₁M=

5

2

，即为异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）矩形BB₁C₁C中，根据Rt△B₁C₁M∽Rt△MCB，证出BM⊥B₁M，再结合A₁B₁⊥BM和线面垂直的判定定理，即可得到BM⊥平面A₁B₁M．

解答：解：（1）连接A₁M、B₁M
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁∥C₁D₁，
∴∠B₁A₁M或其补角即为异面直线A₁M和C₁D₁所成角
∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，B₁M⊆平面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥B₁M
Rt△B₁C₁M中，B₁M=

B1C12+B1M2

=

5

2

∴Rt△A₁B₁M中，tan∠B₁A₁M=

B1M

A 1B1

=

5

2

即异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值等于

5

2

；
（2）∵Rt△B₁C₁M中，C₁M=1，B₁C₁=2且Rt△BCM中，CM=4，BC=2
∴

BC

C1M

=

CM

B1C1

=2，结合∠MC₁B₁=∠BCM=90°
∴Rt△B₁C₁M∽Rt△MCB，可得∠BMC=∠MB₁C₁=90°-∠B₁MC₁．
∴∠BMC+∠B₁MC₁=90°，得BM⊥B₁M
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BM
∵A₁B₁、B₁M是平面A₁B₁M内的相交直线
∴BM⊥平面A₁B₁M．

点评：本题在长方体中求异面直线所成角的正切值，并且证明线面垂直，着重考查了长方体的性质、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．