Question

求下列曲线的标准方程：
（1）离心率e=

3

2

且椭圆经过（4，2

3

）
（2）渐近线方程是y=±

2

3

x，经过点M（

9

2

，-1）．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，利用已知条件求出椭圆中的几何量，即可求出方程．
（2）利用双曲线的渐近线方程，设出双曲线方程，然后求出双曲线方程即可．

解答： 解：（1）离心率e=

3

2

且椭圆经过(4，2

3

)，
由e=

3

2

可得b=

1

2

a，因此设椭圆方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1或者(2)

x2

b2

+

y2

4b2

=1；
将点(4，2

3

)的坐标代入可得（1）b²=16，（2）b²=19，所求方程是：

x2

64

+

y2

16

=1或者

x2

19

+

y2

76

=1．
（2）渐近线方程是y=±

2

3

x，经过点M(

9

2

，-1)．
设所求双曲线方程是

x2

9

-

y2

4

=λ，将M(

9

2

，-1)代入可得λ=2，
所以，所求双曲线方程是：

x2

18

-

y2

8

=1．

点评：本题考查椭圆方程以及双曲线方程的求法，基本知识的考查．