Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

.
（Ⅰ）当x∈[

π

6

，

π

2

]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，若f（x）=8，求函数f(x-

π

12

)的值；
（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的表达式并判断奇偶性．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积表示出函数f（x）的解析式，然后化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由x的范围确定2x+

π

6

的范围，从而根据正弦函数的性质可解题．
（2）先根据x∈[

π

6

，

π

2

]时，若f（x）=8，求出cos(2x+

π

6

)=-

4

5

，进而可得到sin（2x+

π

6

），然后表示出f(x-

π

12

)可得答案．
（3）函数f（x）经过平移可得到g（x）=5sin2x，再对函数g（x）判断奇偶性即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

=5

3

sinxcosx+2cos2x+4cos2x+sin2x+

3

2

=5

3

sinxcosx+5cos2x+

5

2

=

5

2

3

sin2x+5×

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5；
由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴

π

6

≤x≤

π

2

时，函数f(x)的值域为[

5

2

，10].
（Ⅱ）f(x)=5sin(2x+

π

6

)+5=8，则sin(2x+

π

6

)=

3

5

，

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

；
所以cos(2x+

π

6

)=-

4

5

，
f(x-

π

12

)=5sin2x+5=5sin(2x+

π

6

-

π

6

)+5=

3 3

2

+7.
（Ⅲ）由题意知f(x)=5sin(2x+

π

6

)+5→g(x)=5sin[2(x-

π

12

)+

π

6

)+5-5=5sin2x，
所以g（x）=5sin2x；
g（-x）=5sin（-2x）=-5sin2x=-g（x），
故g（x）为奇函数．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质--奇偶性、值域的有关问题．一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式再解题．