Question

在递减的等比数列{a_n}中，设S_n为其前n项和，已知a₂=

1

4

，S₃=

7

8

．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂S_n，试比较

bn+bn+2

2

与b_n+1的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₂=

1

4

，S₃=

7

8

，建立方程组，即可求a_n，S_n；
（Ⅱ）b_n+1=log₂S_n+1，由于函数y=log₂x在定义域上为增函数，所以只需比较(Sn•Sn+2)

1

2

与S_n+1的大小关系．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，

a1q= 1 4 a1(1+q+q2)= 7 8

解得q=2或q=

1

2

．
由上面方程组可知a₁＞0，且已知数列{a_n}为递减数列，所以q=

1

2

．
代入求得a1=

1

2

，则an=(

1

2

)n.Sn=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n…．（6分）
（Ⅱ）依题意，

bn+bn+2

2

=

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)=

1

2

log2(Sn•Sn+2)=log2(Sn•Sn+2)

1

2

；
b_n+1=log₂S_n+1，
由于函数y=log₂x在定义域上为增函数，
所以只需比较(Sn•Sn+2)

1

2

与S_n+1的大小关系，
即比较S_n•S_n+2与S²_n+1的大小关系，[1-(

1

2

)n][1-(

1

2

)n+2]=1-(

1

2

)n-(

1

2

)n+2+(

1

2

)2n+2，[1-(

1

2

)n+1]2=1-2•(

1

2

)n+1+(

1

2

)2n+2，
由于(

1

2

)n+(

1

2

)n+2＞2

( 1 2 )2n+2

，
即(

1

2

)n+(

1

2

)n+2＞2•(

1

2

)n+1，
所以[1-(

1

2

)n][1-(

1

2

)n+2]＜[1-(

1

2

)n+1]2．
即S_n•S_n+2＜S²_n+1，
即

bn+bn+2

2

＜b_n+1…．（13分）

点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．