Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，由勾股定理得AB⊥AC，从而AC⊥CD，由线面垂直得PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由直线CN与平面MAB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，利用向量法能求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 （1）证明：连结AC．因为在△ABC中，AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，
所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC．
因为AB∥CD，所以AC⊥CD．
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
因为AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC．（4分）
（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），因为M是棱PD的中点，所以M（-1，1，1）．
所以$\overrightarrow{AM}=（-1，1，1），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面MAB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得平面MAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
因为N是在棱AB上一点，所以设N（x，0，0），$\overrightarrow{NC}$=（-x，2，0）．
因为直线CN与平面MAB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
设直线CN与平面MAB所成角为α，
 
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{NC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{NC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
解得x=1，即AN=1，NB=1，所以$\frac{AN}{NB}$=1．

点评 本题考查向面垂直的证明，考查满足条件的线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．