【题目】设x≥1,y≥1,证明:x+y+≤
+xy.
【答案】见解析
【解析】
由要证x+y+≤
+
+xyxy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,作差可得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=(xy-1)(x-1)(y-1),从而得证.
证明:由于x≥1,y≥1,
所以x+y+≤
+
+xyxy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)·(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
从而所要证明的不等式成立.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 等比数列{bn}的前n项和为Tn , a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(Ⅰ)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若T3=21,求S3 .
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【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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【题目】如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在 和
两个空白框中,可以分别填入( )
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1
D.A≤1000和n=n+2
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【题目】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是
A. 至少有一个白球;都是白球 B. 至少有一个白球;至少有一个红球
C. 至少有一个白球;红、黑球各一个 D. 恰有一个白球;一个白球一个黑球
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分)
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2 .
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