Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=3，AB=4，BC=

3

，点E在线段AB的延长线上．曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；
（2）试问：过点C能否作一条直线l与曲线段DE相交于两点M、N，使得线段MN以C为中点？若能，则求直线l的方程；
若不能，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，由AD+BD=3+5=8＞AB，知曲线段DE是以A、B为左、右焦点，长轴长为8的椭圆的一部分．由此能求出曲线段DE的方程．
（2）设这样的直线l存在，由直线x=2与曲线段DE只有一个交点（0，3），设直线l的方程为 y=k(x-2)+

3

，将其代入

x2

16

+

y2

12

=1得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0．由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-2，0)，B(2，0)，C(2，

3

)，D(-2，3)．…（1分）
∵AD+BD=3+5=8＞AB，
∴依题意，曲线段DE是以A、B为左、右焦点，
长轴长为8的椭圆的一部分．  （3分）
故曲线段DE的方程为

x2

16

+

y2

12

=1(x≥-2，y≥0)．       （6分）
（2）设这样的直线l存在，
由直线x=2与曲线段DE只有一个交点（0，3），
知直线l存在斜率，设直线l的方程为y-

3

=k(x-2)，
即 y=k(x-2)+

3

，
将其代入

x2

16

+

y2

12

=1，
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0①（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，
解得k=-

3

2

．（12分）
当k=-

3

2

时，方程①化为：x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．
即M(0，2

3

)，N(4，0)，适合条件．
故直线l存在，其方程为y=-

3

2

x+2

3

，
即

3

x+2y-4

3

=0．（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．