Question

已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切
（1）求圆C的方程
（2）过点Q（0，-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且为x₁x₂+y₁y₂=3时求：△AOB的面积．

Answer 1

分析：（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），可得圆C的方程的方程．再根据圆心到直线的距离等于半径求得a的值，可得圆C的方程．
（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系求得x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

9

1+k2

，再由x₁x₂+y₁y₂=3，求得k的值，可得∴直线l的方程．求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，再由S△AOB=

1

2

|AB|•h，计算求得结果．

解答：解：（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），则圆C的方程为（x-a）²+y²=4．
因为圆C与3x-4y+4=0相切，所以

|3a+4|

32+42

=2，解得：a=2或a=-

14

3

（舍），
所以圆C的方程为：（x-2）²+y²=4．…（4分）
（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，由

y=kx-3 (x-2)2+y2=4

得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∵l与圆C相交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（4+6k²）-4（1+k²）×9＞0，且x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

9

1+k2

，
∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2•x1x2-3k(x1x2)+9=

9k2

1+k2

-

12k+18k2

1+k2

+9，
又∵x₁x₂+y₁y₂=3，∴

9k2

1+k2

+

9k2

1+k2

-

12k+18k2

1+k2

+9=3，
整理得：k²+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．
∴直线l的方程为：y=x-3．…（8分）
圆心C到l的距离d=

|2-3|

2

=

2

2

，在△ABC中，∵|AB|=2•

22- 1 2

=14，
原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高h=

3

2

=

3

2

2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|•h=

1

2

•

14

•

3 2

2

=

3

2

7

．…（12分）

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．