Question

（2013•成都模拟）已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用向量模的计算公式得出|

an

|的表达式，发现得出|

an

|=

2

2

|

an-1

|利用等比数列定义判定是等比数列．
（2）根据向量夹角公式可以求出θ_n=

π

4

，b_n=2nθ_n-1=

nπ

2

-1．分组后结合等差数列求和公式计算．
（3）由上可得出c_n=

2-n

2

•2

2-n

2

，可利用作商法研究数列{c_n}的单调性，确定最小项存在与否．

解答：解：（l）证明：|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|

an-1

|（n≥2）又|

a1

|=

2

 
∴数列|

an

|是以

2

为首项，公比为

2

2

的等比数列．…（4分）
（2）∵

an-1

•an

=(xn-1，yn-1) •

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

1

2

(xn-12+yn-12)=

1

2

|

an-1

|²
∴cosθ_n=

an-1 •an

|an-1| •|an|

=

2

2

，∴θ_n=

π

4

，∴b_n=2nθ_n-1=

nπ

2

-1．
Sn=b₁+b₂+…+b_n=(

π

2

-1)+ (

2π

2

-1)+…(

nπ

2

-1)=

π

4

(n2+n)-n…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵|

an

|=

2

(

2

2

)n-1=2

2-n

2

，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=

2-n

2

•2

2-n

2

，由c_n≤c_n+1 得

2-n

2

•2

2-n

2

≤

1-n

2

•2

1-n

2

即

2

（2-n）≤1-n，∴（

2

-1）n≥2

2

-1．
∴n≥

2 2 -1

2 -1

=3+

2

，∵n为正整数，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+

2

，n≤5．，∴n=5
 故存在最小项，最小项为c₅=-

3

2

•2-

3

2

…（12分）

点评：本题考查数列的函数性质，等比数列的判定，数列求和，向量数量积、夹角的计算，是数列与不等式的综合．所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求．