Question

20．已知函数y=（a²-1）x²+（a-1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$．

Answer 1

分析 根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可．

解答 解：若y=（a²-1）x²+（a-1）x+3＞0，
则当a²-1=0，即a=1或a=-1，
当a=1时，不等式等价为3＞0，满足条件．
当a=-1时，不等式等价为-2x+3＞0，x＜$\frac{3}{2}$，不满足条件．
当a≠±1时，
要使y＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a-1）^{2}-12（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{11{a}^{2}+2a-13＞0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜1}\\{a＞1或a＜-\frac{13}{11}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{a＞1或a＜-\frac{13}{11}}\end{array}\right.$，得a＞1或a＜-$\frac{13}{11}$，
综上a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$，
反之也成立，
故答案为：a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据一元二次不等式的性质是解决本题的关键．注意要对系数 进行讨论．