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    【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）

    （Ⅰ）求所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （Ⅱ）填写下面的列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

    附表及公式：

    ，其中

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    【答案】(Ⅰ)40；(Ⅱ)答案见解析.

    【解析】试题分析：(1)利用频率和为，求的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值；〔2〕利用公式求出与临界值比较，即可得出结论.

    试题解析：（Ⅰ） .

    文科生参赛人数（人）

    理科生参赛人数（人）

    优秀学生数（人）

    （Ⅱ）

    ，

    所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.

    练习册系列答案
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    【题目】已知函数， .

    （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

    （Ⅱ）令，求函数的极值；

    （Ⅲ）若，正实数， 满足，证明： .

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    【题目】已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为元/件（），则新增的年销量（万件）.

    （1）写出今年商户甲的收益（单位：万元）与的函数关系式；

    （2）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.

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    【题目】空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年1月某日某省x个监测点数据统计如下：

    空气污染指数

    （单位：μg/m3）

    监测点个数

    15

    40

    y

    10

    （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；

    （2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？

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    【题目】已知四个命题：

    ①在回归分析中， 可以用来刻画回归效果， 的值越大，模型的拟合效果越好；

    ②在独立性检验中，随机变量的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；

    ③在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加1个单位；

    ④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；

    其中真命题是：

    A. ①④ B. ②④ C. ①② D. ②③

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    【题目】为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．

    (1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；

    (2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望．

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    【题目】已知函数.

    (1) 时，证明： ；

    (2)当时，直线和曲线切于点，求实数的值；

    (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

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    【题目】如图，在三棱锥中， ， ， 为的中点.

    （1）求证： ；

    （2）设平面平面， ， ，求二面角的平面角的正弦值.

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    (1)求的值；

    (2)从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，求体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率.

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