Question

如图所示,直三棱柱ABCA₁B₁C₁中,D,E分别是AB,BB₁的中点.

(1)证明:BC₁∥平面A₁CD;
(2)设AA₁=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA₁DE的体积.

Answer 1

(1)见解析   (2)1

解析(1)证明:连接AC₁交A₁C于点F,

则F为AC₁中点.
又D是AB中点,连接DF,
则BC₁∥DF.
因为DF?平面A₁CD,BC₁?平面A₁CD,
所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)解:因为ABCA₁B₁C₁是直三棱柱,
所以AA₁⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,
所以CD⊥AB.
又AA₁∩AB=A,
于是CD⊥平面ABB₁A₁.
由AA₁=AC=CB=2,AB=2
得∠ACB=90°,CD=,A₁D=,DE=,A₁E=3,
故A₁D²+DE²=A₁E²,
即DE⊥A₁D.
所以=××××="1."