【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,四边形ABEF为直角梯形,且AF∥BE,AB⊥BE,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB=BE=2AF=2. (Ⅰ)求证:AC∥平面DEF;
(Ⅱ)若二面角D﹣AB﹣E为直二面角,
( i)求直线AC与平面CDE所成角的大小;
( ii)棱DE上是否存在点P,使得BP⊥平面DEF?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】证明:(Ⅰ)连结BD,设AC∩BD=O, 因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD中点.
设G为DE的中点,连结OG,FG,
则OG∥BE,且 .
由已知AF∥BE,且 ,所以AF∥OG,OG=AF.
所以四边形AOGF为平行四边形.
所以AO∥FG,即AC∥FG.
因为AC平面DEF,FG平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
解:(Ⅱ)(i)由已知,AF∥BE,AB⊥BE,所以AF⊥AB.
因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角,所以平面ABCD⊥平面ABEF.
所以AF⊥平面ABCD,所以AF⊥AD,AF⊥AB.
四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD.所以AD,AB,AF两两垂直.
以A为原点,AD,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图).
因为AB=BE=2AF=2,
所以A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,2,2),F(0,0,1),
所以 .
设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),
由 得 即
取x=1,得n=(1,0,1).
设直线AC与平面CDE所成角为θ,
则 ,
因为0≤θ≤90°,所以θ=30°.
即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°.
(ii)假设棱DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF.
设 ,则 .
设P(x,y,z),则 ,
因为 ,所以(x﹣2,y,z)=λ(﹣2,2,2).
所以x﹣2=﹣2λ,y=2λ,z=2λ,所以P点坐标为(2﹣2λ,2λ,2λ).
因为B(0,2,0),所以 .
又 ,
所以 ,解得 .
因为 ,所以DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF,且 .
(另解)假设棱DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF.
设 ,则 .
设P(x,y,z),则 ,
因为 ,所以(x﹣2,y,z)=λ(﹣2,2,2).
所以x﹣2=﹣2λ,y=2λ,z=2λ,所以P点坐标为(2﹣2λ,2λ,2λ).
因为B(0,2,0),所以 .
设平面DEF的一个法向量为 =(x0 , y0 , z0),
则 ,由 ,得
取x0=1,得 =(1,﹣1,2).
由 ,即(2﹣2λ,2λ﹣2,2λ)=μ(1,﹣1,2),
可得 解得 .
因为 ,所以DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF,且 .…(14分)
【解析】(Ⅰ)连结BD,设AC∩BD=O,设G为DE的中点,连结OG,FG,推导出四边形AOGF为平行四边形,从而AC∥FG,由此能证明AC∥平面DEF. (Ⅱ)(i)以A为原点,AD,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小.(ii)假设棱DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF.设 ,则 .设P(x,y,z),求出P点坐标为(2﹣2λ,2λ,2λ),从而 .由此能求出DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF,且 . (另解)假设棱DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF.设 ,则 .设P(x,y,z),求出平面DEF的一个法向量,由此能求出DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF,且 .
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案,需要熟知已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直,FD⊥平面ABCD,且FD= .
(I)求证:EF∥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.
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【题目】在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且| |=3,| |=4, =λ +μ (λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,| |的值为( )
A.
B.3
C.
D.
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【题目】已知F1 , F2分别是椭圆C: =1(a>b>0)的两个焦点,P(1, )是椭圆上一点,且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F2 , 且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).
(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M,并说明理由;
(2)若 属于集合M,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)=2x+bx2 , 求证:对任意实数b,都有f(x)∈M.
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【题目】如图,扇形AOB所在圆的半径是1,弧AB的中点为C,动点M,N分别在OA,OB上运动,且满足OM=BN,∠AOB=120°.
(Ⅰ)设 ,若 ,用a,b表示 ;
(Ⅱ)求 的取值范围.
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