Question

12．在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为$\sqrt{2}$，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设点O是底面中心，E为BC的中点，连接OE，PE，OP．可得OP⊥平面ABCD，OE⊥BC，PE⊥BC．于是∠OEP为侧面与底面所成二面角的平面角，tan∠OEP=$\sqrt{2}$．不妨取OE=1，则OP=$\sqrt{2}$，AB=2．利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设点O是底面中心，E为BC的中点，连接OE，PE，OP．
则OP⊥平面ABCD，OE⊥BC，PE⊥BC．
∴∠OEP为侧面与底面所成二面角的平面角，
则tan∠OEP=$\sqrt{2}$．
不妨取OE=1，则OP=$\sqrt{2}$，AB=2．
∴O（0，0，0），A（1，-1，0），D（-1，-1，0），B（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
M$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{DM}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{DM}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}×2+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴异面直线DM与AN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．