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12.在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为$\sqrt{2}$,则异面直线DM与AN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

分析 如图所示,建立空间直角坐标系.设点O是底面中心,E为BC的中点,连接OE,PE,OP.可得OP⊥平面ABCD,OE⊥BC,PE⊥BC.于是∠OEP为侧面与底面所成二面角的平面角,tan∠OEP=$\sqrt{2}$.不妨取OE=1,则OP=$\sqrt{2}$,AB=2.利用向量夹角公式即可得出.

解答 解:如图所示,建立空间直角坐标系.
设点O是底面中心,E为BC的中点,连接OE,PE,OP.
则OP⊥平面ABCD,OE⊥BC,PE⊥BC.
∴∠OEP为侧面与底面所成二面角的平面角,
则tan∠OEP=$\sqrt{2}$.
不妨取OE=1,则OP=$\sqrt{2}$,AB=2.
∴O(0,0,0),A(1,-1,0),D(-1,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),N($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
M$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.
∴$\overrightarrow{DM}$=$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$\overrightarrow{AN}$=$(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.
∴cos<$\overrightarrow{DM}$,$\overrightarrow{AN}$>=$\frac{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{DM}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}×2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴异面直线DM与AN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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