精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
13.设函数f(x)的定义域为R*,且满足条件f(4)=1,对于任意${x_1},{x_2}∈{R^*}$,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且函数f(x)在R*上为增函数.
(1)求f(1)的值;
(2)如果f(3x+1)+f(2x-6)≤3,求x的取值范围.

分析 (1)由f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1得f(1)=f(1)+f(1),即可得出.
(2)f(42)=f(4•4)=f(4)+f(4)=2,f(64)=f(16)+f(4)=3.由f(3x+1)+f(2x-6)≤3,得f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64),再利用函数f(x)在R*上为增函数即可得出.

解答 解:(1)∵f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1得f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0.…(3分)
(2)f(42)=f(4•4)=f(4)+f(4)=2,f(64)=f(16)+f(4)=3.
∴由f(3x+1)+f(2x-6)≤3,得f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)…(7分)
∵函数f(x)在R*上为增函数,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{2x-6>0}\\{(3x+1)(2x-6)≤64}\end{array}}\right.$,解得3<x≤5.…(10分)

点评 本题考查了抽象函数的单调性及其应用、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.定义在R上的偶函数f(x),当0≤x≤$\frac{π}{2}$时,f(x)=x3sinx,设a=f(sin$\frac{π}{3}$),b=f(sin2),c=f(sin3),则a,b,c的大小关系为(  )
A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 (  )
A.$\frac{64}{3}$B.16C.$\frac{32}{3}$D.48

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.函数f(x)的定义域为R,f(1)=3,对任意x∈R,都有f(x)+f'(x)<2,则不等式ex•f(x)>2ex+e的解集为(  )
A.{x|x<1}B.{x|x>1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或0<x<1}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.“莫以宜春远,江山多胜游”,近年来,宜春市在旅游业方面抓品牌创建,推进养生休闲度假旅游产品升级,明月山景区成功创建国家5A级旅游景区填补了赣西片区的空白,某投资人看到宜春旅游发展的大好前景后,打算在宜春投资甲,乙两个旅游项目,根据市场前期调查,甲,乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为100%和80%,可能的最大亏损率分别为40%和20%,投资人计划投资金额不超过5000万,要求确保亏损不超过1200万,问投资人对两个项目各投资多少万元,才能使五年后可能的盈利最大?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在矩形ABCD的边CD上随机取一点E,记“△AEB的最大边是AB”为事件M,则P(M)等于(  )
A.2-$\sqrt{3}$B.$\sqrt{3}$-1C.$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖,抽奖有两种方案可供选择.
方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中,随机摸出2个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖;
方案二:掷2颗骰子,如果出现的点数至少有一个为4则中奖,否则不中奖.(注:骰子(或球)的大小、形状、质地均相同)
(Ⅰ)有顾客认为,在方案一种,箱子中的红球个数比白球个数多,所以中奖的概率大于$\frac{1}{2}$.你认为正确吗?请说明理由;
(Ⅱ)如果是你参加抽奖,你会选择哪种方案?请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$,则双曲线的离心率为(  )
A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为(  )
A.(1,2,0)B.(0,0,3)C.(1,0,3)D.(0,2,3)

查看答案和解析>>

同步练习册答案