Question

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售2000件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术的含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．设改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（1）当销售价提高的百分率为0.1时，月利润是多少？
（2）写出y与x的函数关系式；
（3）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．可得销售价提高的百分率为0.1时月平均销售量，结合每件产品的利润可得答案．
（2）由已知中如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．计算出改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x²），整理可得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）的解析式，利用结合x的取值范围，利用导数法易得月平均利润最大值．
解答：解：（1）当销售价提高的百分率为0.1时，销售价是22元
月平均销售量减少的百分率为0.01，
月平均销售量为2000（1-0.01）（元）                 …（1分）
月利润是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元     …（2分）
（2）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x²）
件，则月平均利润2000（1-x²）[20（1+x）-15]（元），
∴y与x的函数关系式为：y=2000（1-x²）[20（1+x）-15]（0＜x＜1），y=10000（-4x³-x²+4x+1）…（4分）
（3）由y'=10000（4-2x-12x²）=0，得，（舍），
当时y'＞0；时y'＜0，∴函数在取得最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．…（8分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用导数求闭区间上函数的最值工，其中根据已知条件确定函数的解析式是解答本题的关键．