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16.若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分,则k的值为$\frac{1}{2}$;若该平面区域存在点(x0,y0)使x0+ay0+2≤0成立,则实数a的取值范围是a≤-1.

分析 作出不等式组对应的平面区域,由目标函数过定点(0,2),结合平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分,可知直线y=kx+2过BC的中点,联立方程组结合中点坐标公式求出BC中点,再由两点求斜率公式得k值;利用目标函数的几何意义,结合数形结合分类进行求解,可得实数3a+b的取值范围.

解答 解:由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$作出可行域如图,
∵直线y=kx+2过定点(0,2),若平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分,
则直线y=kx+2过BC的中点,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$,解得B(3,5);
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-5y+10=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$,解得C(5,3).
∴BC的中点为(4,4),则k=$\frac{4-2}{4-0}=\frac{1}{2}$;
若a=0,则不等式x+ay+2≤0等价为x≤-2,此时不满足条件;
若a>0,则不等式等价为y≤-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$,直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$<0,此时区域都在直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方,不满足条件;
若a<0,则不等式等价为y≥-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$,直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$>0,
若平面区域存在点(x0,y0),使x0+ay0+2≤0成立,
则只要满足点A(0,2)满足条件不等式此时区域都在直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方即可.
即0+2a+2≤0,解得a≤-1,
故答案为:a≤-1.
故答案为:$\frac{1}{2};a≤-1$.

点评 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

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