Question

18．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线${x^2}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据题意，由等比数列的性质计算可得m=±4，分2种情况讨论：当m=4时，圆锥曲线${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$表示椭圆，当m=-4时，圆锥曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$表示双曲线，分别求出此时的离心率，综合可得答案．

解答 解：根据题意，m是两个正数2，8的等比中项，则有m²=2×8=16，
解可得m=±4，
当m=4时，圆锥曲线${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$表示椭圆，
其中a=2，b=1，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当m=-4时，圆锥曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$表示双曲线，
其中a=1，b=2，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
则其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{5}$；
故选：D．

点评 本题考查椭圆．双曲线的几何性质，注意m的取值可正可负，要分2种情况讨论．