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【题目】如图,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 的最小值;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR||OS|是定值.

【答案】
(1)解:由题意可知:T(﹣2,0),∴a=2.又 ,a2=b2+c2

联立解得a=2,c= ,b=1.

∴椭圆C的方程为 =1


(2)解:设M(x0,y0),N(x0,﹣y0).

把点M的坐标代入椭圆方程可得: =1﹣

= = =

∵﹣2<x0<2,

∴当且仅当x0=﹣ 时, 取得最小值﹣


(3)证明:设P(x1,y1),

直线MP的方程为:y﹣y1= (x﹣x1),

令y=0,可得xR=

同理可得:xS=

∵点M,P都在椭圆上,

=4 =4

∴:|OR||OS|=xRxS= = =4是定值


【解析】(1)由题意可知:T(﹣2,0),a=2.又 ,a2=b2+c2 , 联立解出即可得出.(2)设M(x0 , y0),N(x0 , ﹣y0).把点M的坐标代入椭圆方程可得: =1﹣ .利用数量积运算性质可得: = ,﹣2<x0<2,再利用二次函数的单调性即可得出.(3)设P(x1 , y1),直线MP的方程为:y﹣y1= (x﹣x1),令y=0,可得xR , 同理可得:xS , 利用点M,P都在椭圆上,及其|OR||OS|=xRxS即可证明.

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2

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3

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1

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3

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1


A.{1}
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C.{3}
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