分析 (1)利用椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求出c,a,可得b,即可求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l的方程为y=-x+m,点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y,可得3x2-4mx+2m2-2=0,利用BF1⊥PA,可得m的方程,即可求出m的值.
解答 解:(1)∵椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦距为2,∴半焦距c=1.
又已知离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,∴a2=2.
∴b2=1.
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.
(2)易知P为(0,1).
∵椭圆C的左焦点F1(-1,0)恰为△PAB的垂心,∴PF1⊥AB,
同理,BF1⊥PA.
设直线PF1,AB的斜率分别是${k_{P{F_1}}},{k_{AB}}$,则${k_{P{F_1}}}•{k_{AB}}=-1$.
∵${k_{P{F_1}}}=1$,∴kAB=-1.
设直线l的方程为y=-x+m,点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y,可得3x2-4mx+2m2-2=0.
∴$\left\{\begin{array}{l}△=-8{m^2}+24>0\\{x_1}+{x_2}=\frac{4}{3}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{3}\end{array}\right.$.
由△>0,可知m2<3.
∵BF1⊥PA,∴$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{PA}=0$.
∴$({x_2}+1){x_1}+{y_2}({y_1}-1)=2{x_1}{x_2}+(1-m)({x_1}+{x_2})+{m^2}-m=0$.
∴$2•\frac{{2{m^2}-2}}{3}+(1-m)•\frac{4m}{3}+{m^2}-m=0$.
解得m=1或$m=-\frac{4}{3}$.
当m=1时,点P在l上,不合题意;
当$m=-\frac{4}{3}$时,经检验,符合题意.
∴当且仅当直线l的方程为$y=-x-\frac{4}{3}$时,椭圆C的左焦点F1恰为△PAB的垂心.
点评 本题考查了椭圆方程的求法,以及存在性问题的做法,为圆锥曲线的常规题,应当掌握.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{5}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ?x∉R,lgx=2 | B. | ?x0∈R,lgx0≠2 | C. | ?x∈R,lgx≠2 | D. | ?x0∈R,lgx0=2 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com