Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C在y轴正半轴上的顶点为P，若直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，椭圆C的左焦点F₁恰为△PAB的垂心（即△PAB三条高所在直线的交点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=-x+m，点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y，可得3x²-4mx+2m²-2=0，利用BF₁⊥PA，可得m的方程，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为2，∴半焦距c=1．
又已知离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴a²=2．
∴b²=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）易知P为（0，1）．
∵椭圆C的左焦点F₁（-1，0）恰为△PAB的垂心，∴PF₁⊥AB，
同理，BF₁⊥PA．
设直线PF₁，AB的斜率分别是${k_{P{F_1}}}，{k_{AB}}$，则${k_{P{F_1}}}•{k_{AB}}=-1$．
∵${k_{P{F_1}}}=1$，∴k_AB=-1．
设直线l的方程为y=-x+m，点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y，可得3x²-4mx+2m²-2=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}△=-8{m^2}+24＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{4}{3}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{3}\end{array}\right.$．
由△＞0，可知m²＜3．
∵BF₁⊥PA，∴$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{PA}=0$．
∴$（{x_2}+1）{x_1}+{y_2}（{y_1}-1）=2{x_1}{x_2}+（1-m）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-m=0$．
∴$2•\frac{{2{m^2}-2}}{3}+（1-m）•\frac{4m}{3}+{m^2}-m=0$．
解得m=1或$m=-\frac{4}{3}$．
当m=1时，点P在l上，不合题意；
当$m=-\frac{4}{3}$时，经检验，符合题意．
∴当且仅当直线l的方程为$y=-x-\frac{4}{3}$时，椭圆C的左焦点F₁恰为△PAB的垂心．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的做法，为圆锥曲线的常规题，应当掌握．