Question

（2013•嘉兴一模）若

a

，

b

是两个非零向量，且|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，则

b

与

a

-

b

的夹角的取值范围是

[

π

3

，

5π

6

）

．

Answer 1

分析：不妨设|

a

+

b

|=1，则|

a

|=|

b

|=λ．令

OA

=

a

，

OB

=

b

，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB
为菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，

b

与

a

-

b

的夹角，即

OB

与

BA

的夹角，等于π-θ，且0＜θ＜

π

2

．△OAC中，由
余弦定理解得 cos2θ=1-

1

2λ2

．再由

3

3

≤λ≤1求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到

b

与

a

-

b

的
夹角的取值范围．

解答：解：∵|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，
不妨设|

a

+

b

|=1，则|

a

|=|

b

|=λ．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．
故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜

π

2

．
而由题意可得，

b

与

a

-

b

的夹角，即

OB

与 

BA

的夹角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC²=1=OA²+AC²-2OA•AC•cos2θ=λ²+λ²-2•λ•λcos2θ，
解得 cos2θ=1-

1

2λ2

．
再由

3

3

≤λ≤1，可得

1

2

≤

1

2λ2

≤

3

2

，∴-

1

2

≤cos2θ≤

1

2

，∴

π

3

＜2θ≤

2π

3

，∴

π

6

＜θ≤

π

3

，
故

π

3

≤π-θ＜

5π

6

，即

b

与

a

-

b

的夹角π-θ的取值范围是[

π

3

，

5π

6

）．

点评：本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，余弦定理以及不等式的性质的应用，属于中档题．