Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和零点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间：；单调递增区间：；零点为：（2）

【解析】

（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为图像恒在上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时；从而可构造出，利用导数求得，由此可得取值范围.

（1）

令，解得：

所以函数在上单调递减，在上单调递增

单调递减区间为，单调递增区间为

令，解得：

所以函数的零点是

（2）画出的大致图像，如图所示

设，则的图像恒过点

设函数的图像在点处的切线过点

所以，

的图像在处的切线方程为

将代入切线方程，得

整理得：

设

令，得或

所以在，上单调递增，在上单调递减

又，，

所以是方程的唯一解

所以过点且与的图像相切的直线方程为

令，则

当时，；当时，

又，即在上恒成立

即函数的图像恒在其切线的上方

数形结合可知，的取值范围