已知函数.． (1)当时.求的单调区间, (2)对任意正数.证明:. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）对任意正数，证明：。

（1）在中单调递增，而在中单调递减。

（2）证明见解析。

解析:

（1）当时，，求得，

于是当时，；而当时，。

即在中单调递增，而在中单调递减。

（2）.对任意给定的，，由，

若令，则 … ① ，而 … ②

（一）、先证；因为，，，

又由，得．

所以

．

（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

（ⅰ）、当，则，所以，因为，

，此时．

（ⅱ）、当 …③，由①得 ,，，

因为所以 … ④

同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥

今证明 … ⑦, 因为，

只要证，即，也即，据③，此为显然．

因此⑦得证．故由⑥得．

综上所述，对任何正数，皆有．

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