Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinB，1-cosB），$\overrightarrow{n}$=（2，0）且$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夹角是$\frac{π}{3}$，其中A，B，C是△ABC的内角，它们所对的边分别为a，b，c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC的周长取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，再求出$\overrightarrow{m}$的模，代入向量夹角的余弦值列出方程，再由平方关系化简，求出cosB，再由内角的范围求出B；
（2）由（1）的结论，我们可得A+C=$\frac{π}{3}$，则sinA+sinC=sin（A+$\frac{π}{3}$），然后结合A的取值范围，根据正弦型函数的性质，即可求出sinA+sinC的取值范围，又由正弦定理可得：a=2RsinA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，从而可求△ABC的周长=b+a+c=2+2R（sinA+sinC）=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2sinB，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{si{n}^{2}B+（1-cosB）^{2}}$=$\sqrt{2-2cosB}$，
∵$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夹角是$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{2sinB}{2\sqrt{2-2cosB}}$，
化简得，2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解得cosB=1或cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）知，B=$\frac{2π}{3}$，
∴A+C=$\frac{π}{3}$
∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{3}$-A）=$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=sin（A+$\frac{π}{3}$）
∵0＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴sinA+sinC∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
∵由正弦定理可得：b=2RsinB，既有2=2R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得：a=2RsinA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴△ABC的周长l=b+a+c=2+2R（sinA+sinC）=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）∈（4，$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$]．

点评 本题是向量与三角函数结合的综合题，考查了向量的数量积，两角差的余弦公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质等知识，考查运算能力及转化思想，属于中档题．