分析 (1)根据向量的数量积求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$,再求出$\overrightarrow{m}$的模,代入向量夹角的余弦值列出方程,再由平方关系化简,求出cosB,再由内角的范围求出B;
(2)由(1)的结论,我们可得A+C=$\frac{π}{3}$,则sinA+sinC=sin(A+$\frac{π}{3}$),然后结合A的取值范围,根据正弦型函数的性质,即可求出sinA+sinC的取值范围,又由正弦定理可得:a=2RsinA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA,c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC,从而可求△ABC的周长=b+a+c=2+2R(sinA+sinC)=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$(sinA+sinC)的取值范围.
解答 解:(1)由题意得,$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2sinB,
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{si{n}^{2}B+(1-cosB)^{2}}$=$\sqrt{2-2cosB}$,
∵$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$的夹角是$\frac{π}{3}$,
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$,即$\frac{1}{2}$=$\frac{2sinB}{2\sqrt{2-2cosB}}$,
化简得,2sin2B=1-cosB,即2cos2B-cosB-1=0,
解得cosB=1或cosB=-$\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,
∴B=$\frac{2π}{3}$.
(2)由(1)知,B=$\frac{2π}{3}$,
∴A+C=$\frac{π}{3}$
∴sinA+sinC=sinA+sin($\frac{π}{3}$-A)=$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=sin(A+$\frac{π}{3}$)
∵0<A<$\frac{π}{3}$,
∴$\frac{π}{3}$<A+$\frac{π}{3}$<$\frac{2π}{3}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$<sin(A+$\frac{π}{3}$)≤1,
∴sinA+sinC∈($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1].
∵由正弦定理可得:b=2RsinB,既有2=2R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得:2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,可得:a=2RsinA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA,c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC,
∴△ABC的周长l=b+a+c=2+2R(sinA+sinC)=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$(sinA+sinC)∈(4,$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$].
点评 本题是向量与三角函数结合的综合题,考查了向量的数量积,两角差的余弦公式、两角和的正弦公式,以及正弦函数的性质等知识,考查运算能力及转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 存在实数a,使f(x)为偶函数 | |
B. | 存在实数a,使f(x)为奇函数 | |
C. | 对于任意实数a,f(x)在(0,+∞)上单调递增 | |
D. | 对于任意实数a,f(x)在(0,+∞)上单调递减 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=sin(4x+$\frac{π}{3}$) | B. | y=sin(x-$\frac{2π}{3}$) | C. | y=sin4x | D. | y=-sin4x |
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