Question

5．在数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹可知a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，从而a_n-a_n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_n-1-a_n-2=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，…，a₂-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²，利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，a_n-a_n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_n-1-a_n-2=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，…，a₂-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²，
累加得：a_n-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+…+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{1}{6}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]，
∴a_n=a₁+$\frac{1}{6}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{6}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．