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【题目】已知函数 ,现有一组数据(数据量较大),从中随机抽取10个,绘制所得的茎叶图如图所示,且茎叶图中的数据的平均数为2.(茎叶图中的数据均为小数,其中茎为整数部分,叶为小数部分)
(Ⅰ)现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值,
求至少有2个数据使得函数f(x)没有零点的概率;
(Ⅱ)以频率估计概率,若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值,记使得函数f(x)没有零点的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)根据茎叶图中的数据,计算平均数为 = ×(0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5)=2,
解得a=7;
从茎叶图10个数据中任取4个,有 =210种不同的取法;
函数f(x)=x2+ 中,
△=2(m﹣1)2﹣m=2m2﹣5m+2,
令△<0,解得 <m<2,
∴满足函数f(x)没有零点的数据是0.7,1.4,1.8,1.9共4个;
用抽出的4个数分别替换m的值,至少有2个数据使得函数f(x)没有零点的概率为
P=1﹣ =
(Ⅱ)满足函数f(x)没有零点的数据有4个,
∴ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3,4;
则P(ξ=0)= =
P(ξ=1)= =
P(ξ=2)= =
P(ξ=3)= =
P(ξ=4)= =
∴ξ的分布列为:

ξ

0

1

2

3

4

P

数学期望为Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = =1.6
【解析】(Ⅰ)根据茎叶图中的数据,利用平均数的定义列方程求出a的值;利用判别式△<0求出函数f(x)没有零点时m的取值范围,再利用对立事件的概率公式计算所求的概率值;(Ⅱ)根据题意知ξ的所有可能取值,求出对应的概率,写出ξ的分布列,计算数学期望值.
【考点精析】关于本题考查的茎叶图和离散型随机变量及其分布列,需要了解茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少;在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列才能得出正确答案.

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