Question

【题目】在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：

成绩/编号	1	2	3	4	5
物理（x）	90	85	74	68	63
数学（y）	130	125	110	95	90

（参考公式： = ， = ﹣ ）
参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．
（1）求数学成绩y关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ （ 精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据表中数据计算 = ×（90+85+74+68+63）=76，

= ×（130+125+110+95+90）=110，

=902+852+742+682+632=29394，

=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，

= = = ≈1.5，

= ﹣ =110﹣1.5×76=﹣4；

∴x、y的线性回归方程是 =1.5x﹣4，

当x=80时， =1.5×80﹣4=116，

即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116

（2）解：抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，

X表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，

P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，

P（X=3）= = ；

故X的分布列为：

X	1	2	3
p

X的数学期望值为E（X）=1× +2× +3× =1.8

【解析】（1）根据表中数据计算 、 ，求出回归系数 、 ，写出回归方程，利用回归方程计算x=80时 的值即可；（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．