Question

18．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F₁PF₂=60°，则${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=（　　）

• A． $16\sqrt{3}$
• B． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• C． $9\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由双曲线方程求得a，c的值，由余弦定理结合双曲线的定义求得|PF₁||PF₂|的值，则三角形面积可求．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1，得a=3，2a=6，
b²=16，c²=a²+b²=25，c=5．
不妨设P在双曲线右支上，则|PF₁|-|PF₂|=6，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•cos60°$，
则$100=（|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|）^{2}+|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，即100=36+|PF₁||PF₂|，
得|PF₁||PF₂|=64．
∴${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•sin60°=\frac{1}{2}×64×\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了余弦定理及双曲线定义的应用，是中档题．