Question

【题目】如图，在三棱柱中，，.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）易知△ 与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，进而得平面，从而得证；

（2）由勾股定理可得，从而以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用法向量求解二面角即可..

试题解析：

（1）证明：设点为的中点，连接，，由，，知△与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，，相交于点，所以平面，又平面，所以．

（2）由（1）知△与△均是边长为是等边三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，则

，得，同理可得平面的一个法向量为，

由，

所以，二面角的余弦值为．