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9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$>0(x>0),则不等式x2f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1,+∞).

分析 先根据[$\frac{f(x)}{x}$]′=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$>0判断函数$\frac{f(x)}{x}$的单调性,进而分别看x>1和0<x<1时f(x)与0的关系,再根据函数的奇偶性判断-1<x<0和x<-1时f(x)与0的关系,最后取x的并集即可得到答案.

解答 解:[$\frac{f(x)}{x}$]′=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$>0,即x>0时$\frac{f(x)}{x}$是增函数,
当x>1时,$\frac{f(x)}{x}$>f(1)=0,f(x)>0.
0<x<1时,$\frac{f(x)}{x}$<f(1)=0,f(x)<0,
又f(x)是奇函数,所以-1<x<0时,f(x)=-f(-x)>0,
x<-1时f(x)=-f(-x)<0,
则不等式x2f(x)>0即f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1,+∞),
故答案为:(-1,0)∪(1,+∞).

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用.在判断函数的单调性时,常可利用导函数来判断.

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