Question

已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=

2

，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求弦AB所在直线方程；
（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）双曲线的焦点在y轴，设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1．实轴长为8，离心率e=

2

，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．k=

y1-y2

x1-x2

，故

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0，

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0，由此能导出弦AB所在直线方程．
（3）等轴双曲线

y2

16

-

x2

16

=1的渐近线方程为y=±x．直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），由此能求出直线AB与渐近线所围成三角形的面积．

解答：解：（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1；
∵实轴长为8，离心率e=

2

，∴a=4，c=4

2

，∴b²=c²-a²=16．
或∵实轴长为8，离心率e=

2

，
∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．
∴双曲线的标准方程为

y2

16

-

x2

16

=1．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴k=

y1-y2

x1-x2

，

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2；
∴

y12 16 - x12 16 =1   y22 16 - x22 16 =1

?

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0?

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0
代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
得

(y1-y2)×4

16

-

(x1-x2)×8

16

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

×

1

4

-

1

2

=0，
∴

1

4

k-

1

2

=0，
∴k=2；
所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等轴双曲线

y2

16

-

x2

16

=1的渐近线方程为y=±x．
∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．
又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），
∴直角三角形两条直角边的长度分别为6

2

、2

2

；
∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=

1

2

×6

2

×2

2

=12．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．